Mistä matematiikan osaaminen ja oppiminen koostuu?

Matematiikka on kumuloituva oppiaine eli siinä uudet asiat rakentuvat vanhan osaamisen päälle. Jos taustat ovat heikolla pohjalla, kannattaa niitä vahvistaa mahdollisimman varhaisessa vaiheessa. Muuten saattaa löytää itsensä oravanpyörästä, joka ruokkii itse itseään. Epäonnistuminen latistaa motivaatiota ja muokkaa omaa asennetta matematiikkaa kohtaan negatiiviseksi, tästä seuraa uusia epäonnistumisia ja syöksykierre jatkuu. Sama toimii myös onneksi päinvastoin eli onnistumiset ruokkivat onnistumisia!

Helposti saattaa ajatella, että matematiikan osaaminen on pelkkää laskurutiinia ja kaavojen pyörittelyä. Se on kuitenkin vain yksi osa-alue muiden joukossa. Laskurutiinien lisäksi on myös hyvä ymmärtää mitä tehdään ja miksi, jolloin oppiminen ja uusien asioiden omaksuminenkin on helpompaa.

Matemaattinen tieto voidaan jakaa kahteen osaan proseduraaliseen ja konseptuaaliseen tietoon. Proseduraalinen tieto pitää sisällään taidon käyttää operaatioita ja algoritmeja eli matemaattiset keinot, joiden avulla voi ratkaista matemaattisia ongelmia ja suorittaa laskutoimituksia. Tällainen tieto automatisoituu harjoittelemalla laskurutiinia. Konseptuaalinen tieto puolestaan koostuu käsitteiden ja periaatteiden ymmärtämisestä sekä näiden keskinäisten suhteiden ymmärtämisestä ja taidosta soveltaa niitä eri asiayhteyksiin. Tämmöistä tietoa ei voi oppia ulkoa opettelemalla vaan se kasvaa vähitellen käsitteiden merkityksiä sisäistämällä omien päättely- ja ajatteluprosessien myötä.

Matemaattista osaamista voidaan arvioida eri tavoilla ja eri arvioinnin osa-alueista voi vähän päätellä itsekin, mitkä ovat omat heikkoudet ja vahvuudet matematiikassa. Seuraavaksi esitellään pari erilaista jaottelua matematiikan osaamisen arvioimiseksi. Tässä ei siis ole tarjolla mitään varsinaista testiä vaan kukin voi vähän pohtia mihin itsensä lokeroisi jaottelujen pohjalta. Tärkeintä on kuitenkin ymmärtää, että matemaattisen ajattelun kehittäminen ja käsitteiden ymmärtäminen kulkee rinta rinnan laskutaitojen kanssa matematiikan osaamisessa. Tällainen jaottelu saattaa tulla uutena, koska koulumatematiikassa monesti painotetaan laskutaitoja ja muut taidot jäävät siinä sivussa vähemmälle.

Matemaattisen osaamisen tasot

Matemaattinen osaaminen voidaan jaotella eri tasoihin sen mukaan mitä on tulkittavissa osaamistasosta tehtävien vastauksien pohjalta (Yrjönsuuri, 2002):
  • Rakenteeton tieto: tieto on puutteellista, toiminta epäjohdonmukaista, henkilö on kykenemätön sisäistämään tehtävän ratkaisemiseen tarvittavaa matemaattista ajattelua
  • Yksirakenteinen tieto: vastauksesta löytyy jokin relevantti osatieto, mutta muuten puutteellinen tai virheellinen, vaikeuksia ymmärtää tehtävää kokonaisuudessaan
  • Monirakenteinen tieto: vastaus koostuu useista irrallisista, mutta johdonmukaisesti valituista osista, päätökset yleensä valikoivia ja usein ennenaikaisia, tulos pääasiallisesti oikein, lyhyiden tehtävien ratkaisut yleensä virheettömiä
  • Konkreettisten yleistysten tietämisen taso: kaikkea tai suurinta osaa relevanteista tiedoista käytetään tehtävän ratkaisussa, kykenee yhdistelemään käsitteitä ja ajatuksia tehtävän kontekstissa, osaa muotoilla ongelmatilanteen ja ratkaisun kokonaisuutena
  • Abstraktin ajattelun käyttämisen taso: laaja-alainen ymmärrys käsiteltävästä ilmiöstä, kykenee abstraktiin ajatteluun, osaa käyttää tehtävänratkaisussa tehtävänannosta puuttuvia perusoletuksia, vastaesimerkkejä ja uutta tietoa, pystyy muodostamaan samalle ongelmalle useita vaihtoehtoisia ratkaisumalleja

Matemaattisen osaamisen jaottelu osa-alueisiin

Tässä jaottelussa käytetään matemaattisen arvioinnin apuna erilaisia kompetenssialueita (OECD, 2006, suom. Rautiainen 2010):
  1. Ajatteleminen ja päättely: Tämä pitää sisällään matematiikalle tyypillisiä kysymyksiä, kuten ”Onko olemassa...?”, ”Jos on niin kuinka monta?”, ”Miten löydän…?”; matematiikan tarjoamien vastausten tietäminen tällaisiin kysymyksiin; erilaisten väittämien erottaminen (määritelmät, lauseet, otaksumat, esimerkit); ja annetun matemaattisen käsitteen suuruuden ja rajoitusten ymmärtäminen ja käsitteleminen.
  2. Perusteleminen: Yksilö tietää, mitä on matemaattinen todistus, ja miten ne eroavat muusta matemaattisesta päättelystä; eri tyyppisten matemaattisten perusteluketjujen seuraaminen ja arvioiminen; heuristisen tunteen omaaminen (”Mitä voi ja mitä ei voi tapahtua ja miksi?”); ja matemaattisten perusteluiden luominen ja esittäminen
  3. Kommunikointi: Tämä pitää sisällään kyvyn ilmaista itseään matemaattisessa asiasisällössä moninaisilla tavoilla niin suullisessa kuin kirjallisessa muodossa sekä kyvyn ymmärtää muiden kirjallisia ja suullisia väittämiä.
  4. Mallintaminen: Kyky jäsentää mallinnettavaa tilannetta tai alaa; todellisen tilanteen siirtäminen matemaattisiin rakenteisiin; matemaattisten mallien tulkitseminen todellisissa tilanteissa; matemaattisen mallin työstäminen; mallin vahvistaminen; mallin ja sen tulosten pohtiminen, analysoiminen ja kritiikin esittäminen.
  5. Ongelman esittäminen ja ratkaiseminen: Erilaisten matemaattisten ongelmien synnyttäminen, formulointi ja määritteleminen, sekä erilaisten matemaattisten ongelmien ratkaiseminen usealla tavalla.
  6. Esittäminen: Matemaattisten kohteiden ja tilanteiden eri esittämismuotojen välisten yhteyksien tulkitseminen, muuntaminen, soveltaminen ja erotteleminen.
  7. Symbolien, formaalin ja teknisen kielen sekä operaatioiden käyttö: Symbolisen ja formaalin kielen tulkitseminen sekä yhteyden ymmärtäminen luonnolliseen kieleen; symboleita ja kaavoja sisältävien ilmaisujen ja väittämien käsittely; muuttujien käyttäminen ja yhtälöiden ratkaiseminen ja laskujen tekeminen.
  8. Apuvälineiden ja työkalujen käyttö: Erilaisten apuvälineiden ja työkalujen tiedostaminen sekä käyttäminen
Toisissa osa-alueissa saattaa itsellä olla enemmän kompetenssia kuin toisissa. Omat vahvuudet on hyvä tunnistaa motivaation lisäämiseksi ja heikkoudet sitä varten, että osaa panostaa enemmän niiden harjoitteluun. Kokonaispaketin hallitseminen helpottaa uusien asioiden oppimista ja kokonaisuuden ymmärtämistä.

Matematiikan oppijoita on moneen lähtöön

Oma oppimistyyli ja omat tavat opiskella ovat jokaiselle yksilölliset. Erityyppisiä oppijoita on jaoteltu esimerkiksi visuaalisiin, auditiivisiin, kinesteettisiin ja taktiilisiin oppijoihin. Oma oppimistyyli ja itsensä käyttämät strategiat kannattaa selvittää ihan yleisellä tasolla koko opintojakin ajatellen, jolloin on helpompi löytää itselle sopivimmat ja tehokkaimmat menetelmät opiskelun tueksi. Näihin voi tutustua esimerkiksi Oulun yliopiston Oppimisklinikalla (http://www.oulu.fi/opetkeh/oppimisklinikka/). Muuten lisätietoja on saatavilla esimerkiksi POPissa (TTY:n opiskelijoiden intra) kohdassa -> Opiskelu -> Opiskelutaidot ja hyvinvointi -> Opiskelutaidot (vaatii intratunnuksen).

Matematiikan opiskelijoita voi jaotella muun muassa orientaation, oppimisstrategioiden ja oppimistyylien kautta. Orientaatiolla tarkoitetaan tässä omia henkilökohtaisia tavoitteita, aikomuksia, motiiveja ja odotuksia, jotka vaikuttavat opiskeluun eri aineissa.

Tilanneorientaatioilla puolestaan tarkoitetaan sellaisia orientaatioita, jotka saatavat vaihdella tilanteesta riippuen. Näin ollen itsensä voi myös ”opettaa” yhdestä orientaatiosta toiseen.

Tilanneorientaatiot matematiikassa TTY:llä (Yrjönsuuri, 2002):

  • tehtäväorientoitunut: ottaa vastuun toiminnastaan, arvioi omaa oppimistaan, pohtii sen merkitystä (tehokkaan ja syvällisen tiedon muokkaamisen sekä älyllisen kehityksen edellytys), omaa itseluottamusta ja kiinnostusta matematiikkaan, intention oppia, pohtii opittavan sisällön rakenteita ja yhteyksiä
  • riippuvuusorientoitunut: epäitsenäinen, riippuvainen sosiaalisesta ympäristöstä, oppimisessa pyrkii ulkoa muistamiseen ja ohjeiden noudattamiseen enemmän kuin ymmärtämiseen, luottaa toistoon oppimisessa
  • minäorientoitunut: pyrkii selittämään epäonnistumista korvaavilla toiminnoilla, kuten opiskelun arvon kieltämisellä, pelkää epäonnistumista, ymmärtää vain pinnallisesti
  • luopumisorientoitunut: ei koe matematiikan opiskelua mielekkäänä tai merkityksellisenä, täysin omistautumaton tehtävään
Tästä voisi vetää sellaisia johtopäätöksiä, että jos ottaa itse vastuun omasta oppimisestaan ja selvittää itselleen, miksi matematiikasta voi vielä olla hyötyä tulevaisuudessa on jo hyvää vauhtia suuntaamassa itsenään kohti tehtäväorientoitunutta henkilöä. Jo tämän oppaan lukeminen ajatuksella ja tiedon soveltaminen itseensä on hyvä askel eteenpäin.

Oppimisstrategiat

Oppimistrategialtaan opiskelijat voidaan jakaa karkeasti pintasuuntautuneisiin ja syväsuuntautuneisiin oppijoihin. Pintasuuntautuneet opiskelijat keskittyvät opettelemaan yksittäisiä ja irrallisia asioita eivätkä edes yritä hahmottaa olennaista. Motivaatio opiskeluun tulee ulkopuolelta tulevista odotuksista ja vaatimuksista. Syväsuuntautuneilla puolestaan uuden asian ymmärtäminen ja sen liittäminen aiempaan tietoon on olennaista. Heillä motivaatio tulee sisältäpäin eli he ovat kiinnostuneita opiskeltavasta asiasta aidosti. Toinen tapa jaotella strategioita on serialistinen ja holistinen strategia. Holistit pyrkivät hahmottamaan ensin kokonaiskuvan aiheesta ja karsivat epäolennaisia pois, serialisteilla puolestaan on kokonaiskuva helposti hukassa, mutta he kohdistavat mielenkiintonsa yksittäisiin sääntöihin ja menettelytapoihin. Oppimisstrategian valinta vaihtelee yleensä oppiaineen mukaan.

Oppimistyylit

Oppimistyyli on helposti tiedostamatonta ja kuvaa taipumusta käyttää tietynlaisia oppimisstrategioita ja tapoja opiskella. Oppimistyylejä matematiikassa on jaoteltu esimerkiksi seuraavasti:
  • tulkitsijat (allogorizers): ajattelevat, että kaikki uudet asiat ovat uudelleen muotoiltuja, tunnettuja asioita. Ongelmia ratkaisessaan he pyrkivät soveltamaan tuntemiaan ratkaisutekniikoita ad hoc -tyyppisesti. (Kolb: divergoiva)
  • sopeutujat (integrators): luottavat ongelmanratkaisussa maalaisjärkeensä, vertailevat tyypillisesti uusia asioita jo tiedossa oleviin
  • analysoijat (analyzers): pitävät loogisesta päättelystä ja algoritmeistä, ratkaisevat tehtäviä askel askeleelta oletuksesta lopulliseen ratkaisuun (Kolb: assimiloivatyyli)
  • yhdistelijät (synthesizers): käyttävät matematiikan käsitteitä työkaluina, joiden avulla rakentavat uusia ajatuksia ja lähestymistapoja. Ratkaisevat ongelmia kehittämällä yksilöllisiä ratkaisustrategioita ja vertauskuvia

Oppimisprofiilit

TTY:n matematiikan laitoksella on selvitetty mitä eri profiileita TTY:n opiskelijoista löytyy. Toki todellisuus on usein usean profiilin sekoitus, mutta joku profiileista on yleensä vallalla.

Pintasuuntautunut mallista oppija
Kiinnostukseen matematiikkaa kohtaa vaikuttaa enemmän koulutusohjelma kuin oma mielenkiinto. Tehtävät lasketaan usein samalla tavalla kuin se on esitetty kirjassa tai tunnilla, eikä omaa menetelmää mietitä tehtävän ratkaisemiseksi. Matematiikkaa opitaan kopioimalla esimerkkiratkaisuja, kunhan ajatus pysyy mukana.

Vertaisoppija
Opiskelee mielellään matematiikkaa yhdessä muiden opiskelijoiden kanssa ja laskiessaan toivoo, että saa neuvoa, jos ei kykene itsenäisesti ratkaisemaan tehtävää. Kiinnittää huomiota esimerkkeihin ja kokee, että matematiikan oppiminen on tarpeellista. Tehtäviä laskettaessa on tärkeää saada oikea vastaus, vaikka joissakin kohdissa ratkaisua olisi virheitä. Pitää siitä, että yrittämisestä palkitaan.

Tukea tarvitseva
Opiskellessaan matematiikkaa haluaa, että häntä opastetaan henkilökohtaisesti vaikeissa kohdissa. Opettajan antamat esimerkit ja opetustapa vaikuttavat paljon siihen, miten omaksuu asian. Ei mielellään sovella malliratkaisuja uusiin tehtäviin. Jättää vaikeat tehtävät tekemättä tai kesken. Matematiikan “kieli” vaikuttaa vaikealta.

Omin päin opiskeleva
Pystyy oppimaan matematiikkaa, jos kokee tarvitsevansa sitä. Ei laske tehtäviä mielellään kavereiden kanssa, vaan oppii parhaiten itsekseen pohtimalla. Ei myöskään tarvitse opettajan tukea oppimisessa. Laskutehtävien kopioiminen ei edistä oppimista.

Osaaja
Haluaa oppia matematiikkaa syvällisesti eikä halua opetella asioita ulkoa. Laskiessaan vaikeaa tehtävää ei luovuta helpolla vaan yrittää ratkaista sen. Pärjää mielestään hyvin matematiikassa.

Yksilölliset erot ja ulkoiset olosuhteet

Yksilöllisten erojen voidaan ajatella koostuvan opiskelijan ominaisuuksista sekä ulkoisista olosuhteista. Kognitiivisella tyylillä kuvataan yksilön ominaisuutta, joka vaikuttaa toimintaan ja tiedon prosessointiin oppimistilanteissa.

Omaa oppimistyyliä tukeva oppimateriaali auttaa oppimista, koska erityyppiset oppijat järjestelevät ja käsittelevät informaatiota eri tavalla. Ajatteluprosessit toimivat eri tavalla ja eri tyylit sopivat erilaisiin tehtäviin parhaiten. Kognitiiviset tyylit jaetaan holistinen-analyyttinen sekä verbaalinen-visuaalinen dimensioihin.

Analyyttiset purkavat tiedon osiin, holistiset taas säilyttävät kokonaisvaltaisen kuvan informaatiosta. Verbaaliset työstävät lukemaansa, kokemaansa ja kuulemaansa sanoin ja verbaalisin mielleyhtymin, kun taas visuaaliset havainnollistavat asian mentaalisin kuvin.

Kognitiivinen tyyli on suhteellisen vakaa ominaisuus, mutta oppimisstrategioita voi kehittää omia vahvuuksia tukevaksi. Esimerkiksi materiaalia voi muokata itselleen helpommin sisäistettäväksi (esim. teksti diagrammiksi) ja voi pyrkiä hahmottamaan kokonaisuutta sisällysluettelon avulla.

Ulkoisista olosuhteista oppimisprosessiin vaikuttaa opiskeltava aihe, opiskelijan elämäntilanne ja osaamisen taso. Opiskeltavan asian linkittäminen arkielämään ja pääaineeseen lisää opiskelun mielekkyyttä. Sopivan haasteelliset tehtävät pitävät motivaatiota yllä, kun tulee onnistumisen kokemuksia, mutta ei myöskään pitkästy liian helppoon tasoon.

Matemaattiset oppimisvaikeudet

Matemaattisia oppimisvaikeuksia ei ole tutkittu samassa mittakaavassa kuin lukivaikeuksia - yliopistotasoisia oppimisvaikeuksia sitäkin vähemmän. Matemaattisilla oppimisvaikeuksilla tarkoitetaan pääsääntöisesti vaikeuksia peruslaskutaitojen oppimisessa peruskoulussa, ei niinkään monimutkaisten matemaattisten taitojen puutetta.

Monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseen tarvitaan, peruslaskutaitojen lisäksi, monenlaisia taitoja kuten loogista päättelyä ja aiemmin opittujen asioiden yhdistämistä uusiin tilanteisiin. Ongelmista tällaisissa tilanteissa ei puhuta enää varsinaisesti matemaattisista oppimisvaikeuksista. Näin ollen matemaattisia oppimisvaikeuksia ei juuri esiinny varsinkaan teknillisissä yliopistoissa, joskaan se ei kuitenkaan ole täysin mahdotonta. Vaikeuksia matematiikan hallinnassa on haasteellista jopa tutkia, koska matematiikan luonne vaatii laajenevien aihealueiden ja taitojen hallintaa opiskelijan edetessä vaativampiin ongelmiin.

Matemaattisista oppimisvaikeuksista on havaittavissa tiettyjä ilmenemismuotoja (lähinnä siis peruskoulun osalta). Opiskelija saattaa esimerkiksi pystyä suorittamaan tehtävän yhtenä päivänä, mutta seuraavana päivänä ei kykene ratkaisemaan täsmälleen samaa tehtävää. Toisinaan opiskelija saattaa kyetä ratkaisemaan vaativankin tehtävän suhteellisen hyvin, mutta toisinaan yksinkertaiset tehtävät tuottavat suuria ongelmia. Kun ongelmia ilmenee, matematiikkaan myös turhautuu helposti. Aiemmin opetetun tiedon palauttaminen mieleen saattaa olla haasteellista. Toisilla myös numeroiden järjestäminen tai vertailu on haasteellista. On esimerkiksi vaikea sanoa kumpi on suurempi 74 vai 69 tai kumpi on enemmän 16 vai 17.

Ongelmana saattaa olla, että peruslaskutoimitusten opettelu vaatii enemmän aikaa ja avustusta, mutta käsitteiden ymmärrys ja muu ajattelu on kohdillaan. Tällöin kaivataan enemmän tukea alkuvaiheen pakertamiseen. Toisille taas juuri matematiikan kielen tuomat haasteet ovat ongelmallisimpia. Heidän on vaikeaa seurata sanallisia selityksiä ja monimutkaisten laskujen vaiheita. Tällöin olisi tärkeää, että opiskelija pääsisi itse kertomaan sanallisesti, mitä ratkaisussaan tekee ja että opettaja selittäisi asioita hitaasti ja painottaen olennaisia kohtia. Haasteellista voi olla myös monivaiheisten algoritmien jäsentäminen, jolloin puolestaan tarvitsee paljon harjoitusta muodosta ja kaavasta toiseen siirtymiseen. Lisäksi ongelmia voi olla samalta näyttävien lukujen ja merkkien kanssa, karttojen, diagrammien ja taulukoiden lukemisessa tai matemaattisten symbolien hahmottamisessa vaaka- ja pystysuunnassa.

Yleisesti ottaen matemaattiset oppimisvaikeudet ilmenevät vaikeutena omaksua yksinkertaisia laskutoimituksia, kuten kertotaulujen muistaminen ja matemaattiset operaatiot. Vaikeuksia voi olla numerokäsitteen ymmärtämisessä tai matemaattisen merkin tunnistaminen, lukeminen tai kirjoittaminen voi olla vaikeaa.
Print version |  PDF  | History: r3 < r2 < r1 | 
Topic revision: r3 - 18 Aug 2011 - 15:05:57 - MeriKailanto
 

TUTWiki

Copyright © by the contributing authors. All material on this collaboration platform is the property of the contributing authors.
Ideas, requests, problems regarding TUTWiki? Send feedback